Question

【題目】如圖所示的多面體中，是菱形， 是矩形，平面，，，.

（1）求證：平面平面 ；

（2）在線段上取一點，當二面角的大小為時，求.

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）取AE的中點M,先證明∠AMC就是二面角A-EF-C的平面角，再證明，即證平面平面 ；（2）以AC與BD交點O為坐標原點，0A、OB分別為軸建立直角坐標系，設，利用向量法求得，解方程即得.

解：（1）取AE的中點M.由于ED⊥面ABCD，ED//FB，

∴DE⊥AD，ED⊥DC，FB⊥BC，FB⊥AB，又ABCD是菱形，BDEF是矩形，

所以△ADE，△CDE，△ABF，△CBF是全等直角三角形，AE=AF，CE=CF，

所以AM⊥EF，CM⊥EF，∠AMC就是二面角A-EF-C的平面角

經計算，，

所以，即.

所以平面AEF⊥平面CEF.

（2）以AC與BD交點O為坐標原點，0A、OB分別為軸建立直角坐標系，由AD=BD=2，則A(,0,0)，M(0,O,)，C(﹣,0,0)，E(0,﹣1,)，

F(0,1,)，.

平面CEF的一個法向量.

設，則，

，

設平面NEF的法向量，則

得，

令，則，得.

因為二面角的大小為60°，

所以，

整理得，解得

所以.