Question

14．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），F₁，F₂分別為其左右焦點，
（1）已知P，Q為橢圓C上兩動點，直線PQ過點F₂（c，0），且不垂直于x軸，△PQF₁的周長為8，且橢圓的短軸長為2$\sqrt{3}$，求橢圓C的標準方程；
（2）已知A（a，0），B（0，b），B′（0，-b），F₂（c，0），若直線AB⊥B′F₂，求橢圓C的離心率．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），焦點在x軸上，由橢圓的定義可知：丨PF₁丨+丨PF₂丨+丨QF₁丨+丨QF₂丨=4a=8，a=2，由2b=2$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{3}$，即可求得橢圓C的標準方程；
（2）由$\overrightarrow{AB}$=（-a，b），$\overrightarrow{B′{F}_{2}}$=（c，b），AB⊥B′F₂，可知：$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{B′{F}_{2}}$=0，即可求得b²=ac，因此c²+ac-a²=0，即e²+e-1=0，根據離心率的取值范圍，即可求得橢圓C的離心率．

解答 解：（1）由橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），焦點在x軸上，
由橢圓的定義可知：丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a，丨QF₁丨+丨QF₂丨=2a，
由△PQF₁的周長為8，
∴丨PF₁丨+丨PF₂丨+丨QF₁丨+丨QF₂丨=4a=8，
∴a=2，
由2b=2$\sqrt{3}$，即b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由A（a，0），B（0，b），B′（0，-b），F₂（c，0），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-a，b），$\overrightarrow{B′{F}_{2}}$=（c，b），
由AB⊥B′F₂，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{B′{F}_{2}}$=0，即-ac+b²=0，
∴b²=ac，
由a²=b²+c²，
∴c²+ac-a²=0，等式兩邊同除以a²，
由e=$\frac{c}{a}$，0＜e＜1，
∴e²+e-1=0，解得：e=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，
∴e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴橢圓C的離心率$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及橢圓的簡單幾何性質的應用，考查向量數量積的坐標運用，考查計算能力，屬于中檔題．