Question

由直線y=2-x，y=-

1

3

x和曲線y=

x

所圍成的平面圖形的面積為

 

．

Answer 1

考點：定積分在求面積中的應用

專題：導數的綜合應用

分析：首先畫出圖形，找出曲線圍成的曲邊梯形，明確邊界，列出定積分求值．

解答： 解：由直線y=2-x，y=-

1

3

x和曲線y=

x

所圍成的平面圖形如圖

因為y=2-x，y=-

1

3

x的交點為（3，-1），y=2-x和曲線y=

x

的交點為（0，0），（1，1），
所以由直線y=2-x，y=-

1

3

x和曲線y=

x

所圍成的平面圖形的面積為

∫

1 0

(

x

+

1

3

x)dx+

∫

3 1

(2-x+

1

3

x)dx=（

2

3

x

3

2

+

1

3

×

1

2

x2）|

1 0

+（2x-

1

3

x2）|

3 1

=

13

6

；
故答案為：

13

6

．

點評：本題考查了利用定積分求曲邊梯形的面積，關鍵是求出交點坐標，明確曲線圍成的曲邊梯形部分，通過定積分求面積．