Question

15．在$\sqrt{3}$sinx+cosx=2a-3，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]中，a的取值范圍是[$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{5}{2}$]．

Answer 1

分析 由題意令y=$\sqrt{3}$sinx+cosx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]求解其值域，即可求a的取值范圍．

解答 解：由題意令y=$\sqrt{3}$sinx+cosx，即y=2a-3．
化簡(jiǎn)可得：f（x）=2sin（x$+\frac{π}{6}$）
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
∴x$+\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]
當(dāng)x$+\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{3}$時(shí)，函數(shù)y取得最小值為$-\sqrt{3}$．
當(dāng)x$+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)y取得最大值為2．
∴函數(shù)y的取值范圍是：$-\sqrt{3}≤y≤2$，
∵y=2a-3．
∴$-\sqrt{3}≤2a-3≤2$
解得：$\frac{3-\sqrt{3}}{2}≤a≤\frac{5}{2}$．
∴a的取值范圍是[$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{5}{2}$]
故答案為：[$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{5}{2}$]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用．屬于基礎(chǔ)題．