Question

已知函數f（x）．
（1）若f（x）=-x²，對于任意x₁，x₂，且x₁＜x₂．求證：f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

；
（2）若f（x）=lgx，對于任意的正數x₁，x₂，且x₁＜x₂．是否具有（1）中類似的結論？請你作出猜想，并加以證明．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質,二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）利用基本不等式即可證明，
（2）具有類似的性質，證明方式同（1）

解答： 解：（1）f（

x1+x2

2

）=-（

x1+x2

2

）²=-

1

4

（x₁²+x₂²+2x₁x₂）＞-

1

4

（x₁²+x₂²+x₁²+x₂²）=-

1

2

（x₁²+x₂²）=

f(x1)+f(x2)

2

；
（2）具有（1）中類似的結論，
理由如下：f（

x1+x2

2

）=lg（

x1+x2

2

）＞lg

x1x2

=

1

2

lgx₁x₂=

1

2

（lgx₁+lgx₂）=

f(x1)+f(x2)

2

．

點評：本題考查了函數凸凹性的性質的證明，利用了基本不等式，屬于基礎題