Question

13．某學校為了研究學生的數學成績與物理成績之間的關系，隨機抽取高二年級20名學生某次考試成績（折算成了百分制），規定成績在85分以上（含85分）為優秀．列聯表如下：

	數學成績優秀（人）	數學成績不優秀（人）	合計
物理成績優秀（人）	a=5	b=2	a+b=7
物理成績不優秀（人）	c=1	d=12	c+d=13
合計	a+c=6	b+d=14	n=a+b+c+d=20

（1）將列聯表補充完整；
（2）若在這20名學生中任意選擇一人參加比賽，求其物理和數學成績都優秀的概率；
（3）能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為物理成績與數學成績有關系？（參考公式及參考數據見卷首）

Answer 1

分析 （1）由題意可知，即可求得a和d的值，即可求得a+c及b+d的值；
（2）由物理和數學成績都優秀人數5人，則物理和數學成績都優秀的概率；
（3）由觀測值的計算公式算出隨機變量K²的值，對照臨界值表即可得到正確答案．

解答 解：（1）由b=2，a+b=7，則a=5，c=1，c+d=13，則d=12，
a+c=6，b+d=14，a+b+c+d=20，
∴2×2列聯表：

	數學成績優秀（人）	數學成績不優秀（人）	合計
物理成績優秀（人）	a=5	b=2	a+b=7
物理成績不優秀（人）	c=1	d=12	c+d=13
合計	a+c=6	b+d=14	n=a+b+c+d=20

（2）由物理和數學成績都優秀人數5人，則物理和數學成績都優秀的概率P=$\frac{5}{20}$=$\frac{1}{4}$；
（3）由K²的觀測值k=$\frac{20×（5×12-2×1）^{2}}{7×13×6×14}$≈8.802＞6.635．
當H₀成立時，P（K²＞7.879）=0.005．
所以我們有99%的把握認為：學生的數學成績與物理成績之間有關系，
∴在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為物理成績與數學成績有關系．

點評 本題主要考查獨立性檢驗的基本思想、方法及其簡單應用和概率等知識，考查或然與必然的數學思想方法，以及數據處理能力、運算求解能力和應用意識，屬于中檔題．