Question

【題目】定義在R上的函數y=f（x）是減函數，且對任意的a∈R，都有f（﹣a）+f（a）=0，若x、y滿足不等式f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0，則當1≤x≤4時，x﹣3y的最大值為（ ）
A.10
B.8
C.6
D.4

Answer 1

【答案】A
【解析】解：由于任意的a∈R都有f（﹣a）+f（a）=0，可知函數y=f（x）為奇函數，
由f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0可得f（x2﹣2x）≤﹣f（2y﹣y2），
由函數為奇函數可得式f（x2﹣2x）≤f（﹣2y+y2），
∵函數y=f（x）為R上的減函數，
∴x2﹣2x≥﹣2y+y2 ， 即x2﹣y2﹣2（x﹣y）≥0，
整理可得，（x+y﹣2）（x﹣y）≥0，
作出不等式組 所表示的平面區域即可行域如圖所示的△ABC．

令Z=x﹣3y，則Z表示x﹣3y﹣z=0在y軸上的截距的相反數，
由圖可知，當直線經過點C（4，﹣2）時Z最大，最大值為Z=4﹣3×（﹣2）=10；
故選：A．
【考點精析】關于本題考查的奇偶性與單調性的綜合，需要了解奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性才能得出正確答案．