Question

10．如果有窮數列{a_n}滿足條件：a₁=a_n，a₂=a_n-1，…，a_n=a₁，即a_i=a_n-i+1，我們稱其為“對稱數列”，例如數列1，2，3，4，3，2，1和1，2，3，4，4，3，2，1都是“對稱數列”．已知數列{b_n}是項數不超過2m（m＞1，m∈N*）的“對稱數列”，并使得1，2，2²，2³，…，2^m-1依次為該數列中連續的前m項．則數列{b_n}的前2015項和S₂₀₁₅可以是：
①2²⁰¹⁵-1；     
②2²⁰¹⁵-2；
③3•2^m-1-2^2m-2016-1；
④3•2^m-2^2m-2016-1；
⑤2^m+1-2^2m-2015-1．
其中正確結論的序號為①③⑤．（請寫出所有正確結論的序號）

Answer 1

分析 由題意由于新定義了對稱數列，且已知數列bn是項數為不超過2m（m＞1，m∈N*）的“對稱數列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次為該數列中前連續的m項，故數列bn的前2015項利用等比數列的前n項和定義直接可求①②的正確與否；對于③④⑤，先從等比數列的求和公式求出任意2m項的和，再利用減法得到需要的前2015項的和，即可判斷．

解答 解：因為數列b_n是項數為不超過2m（m＞1，m∈N^*）的“對稱數列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次為該數列中前連續的m項，
所以分數列的項數是偶數和奇數討論．
1）若數列含偶數項，則數列可設為1，2¹，2²，…，2^m-1，2^m-1，…，2²，2¹，1
當m-1≥2014時，S₂₀₁₅=$\frac{1×（1-{2}^{2015}）}{1-2}={2}^{2015}-1$故①正確，②錯；
當1007≤m-1＜2014時，S₂₀₁₅=2×$\frac{1×（1-{2}^{m}）}{1-2}-\frac{1×（1-{2}^{2m-2015}）}{1-2}\\;\\;\\;\\;\\;\$=2^m+1-2^2m-2015-1，故⑤正確；
2）若數列含奇數項，則數列可設為可設為1，2¹，2²，…，2^m-2，2^m-1，2^m-2…，2²，2¹，1
當m-1≥2014時，S₂₀₀₉=2²⁰⁰⁹-1；
當1007≤m-1＜2014時，所以S₂₀₁₅=2×$\frac{1×（1-{2}^{m-1}）}{1-2}+{2}^{m-1}-\frac{1×（1-{2}^{2m-1-2019}）}{1-2}$=3•2^m-1-2^2m-2016-1；故③正確；
故答案為：①③⑤

點評 本題考查了新定義對稱數列，運用的知識都是數列的基本知識：等差數列的通項及求和公式，等比數列的通項及求和公式，還體現了分類討論在解題中的應用，屬于基礎題．