Question

8．求滿足下列條件的橢圓的標準方程．
（1）焦點在y軸上，c=6，$e=\frac{2}{3}$；
（2）經過點（2，0），$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由題意離心率及c求得a，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）由e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，設a=2k，c=$\sqrt{3}k$（k＞0），得b=k，在分（2，0）為長軸或短軸的一個端點求解．

解答 （1）解：由$c=6，e=\frac{2}{3}$得，$\frac{6}{a}=\frac{2}{3}$，解得，a=9，
∵a²=b²+c²，∴b²=a²-c²=81-36=45，
∵焦點在y軸上，∴橢圓的標準方程為$\frac{y^2}{81}+\frac{x^2}{45}=1$；
（2）解：由e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，設a=2k，c=$\sqrt{3}k$（k＞0），
則b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}=\sqrt{（2k）^{2}-（\sqrt{3}k）^{2}}=k$，
由于橢圓經過點為（2，0），即為橢圓的頂點，且在x軸上，
若點（2，0）為長軸的頂點，則a=2，
此時2k=2，∴k=1，得b=1，
則橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
若點（2，0）為短軸的頂點，則b=2，此時k=2，得a=4，
則橢圓的標準方程為$\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{4}=1$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查了橢圓的簡單性質，體現了分類討論的數學思想方法，是中檔題．