Question

1．已知銳角三角形ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足2sinAcosB=2sinC-sinB．
（1）若cosB=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，求sinC的值；
（2）若b=5，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}=-5$，求△ABC的內切圓的面積．

Answer 1

分析 由銳角△ABC中，2sinAcosB=2sinC-sinB，化簡求出cosA和sinA的值；
（1）利用cosB的值求出sinB的值，從而求出sinC的值；
（2）由平面向量數量積的定義，得出a•cosC=1，由正弦定理得出asinC=4$\sqrt{3}$；
利用三角形的面積和同角的三角函數關系求出a、b和c的值，
再求出內切圓的半徑r，即可求出內切圓的面積．

解答 解：銳角△ABC中，2sinAcosB=2sinC-sinB，
∴2sinAcosB=2sin（A+B）-sinB
=2sinAcosB+2cosAsinB-sinB，
∴2cosAsinB-sinB=0；
又sinB≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（1）當cosB=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$時，
sinB=$\sqrt{1{-cos}^{2}B}$=$\frac{11}{14}$；
sinC=sin（A+B）
=sinAcosB+cosAsinB
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{5\sqrt{3}}{14}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{11}{14}$
=$\frac{13}{14}$；
（2）由b=5，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}=-5$，
得b×a×cos（π-C）=-5，
∴ba•cosC=5，
即a•cosC=1；…①
由正弦定理$\frac{b}{sinB}$=$\frac{a}{sinA}$，
得$\frac{b}{sin（A+C）}$=$\frac{a}{sinA}$，
即$\frac{5}{sinAcosC+cosAsinC}$=$\frac{a}{sinA}$，
∴5$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$acosC+asinC，
化簡得asinC=4$\sqrt{3}$；…②
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{b}{2}$•asinC=10$\sqrt{3}$；
由①²+②²=a²=49，
解得a=7，
∴sinC=$\frac{4}{7}$$\sqrt{3}$，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$得，c=8，
∴a+b+c=7+5+8=20，
∴△ABC的面積為S_△ABC=$\frac{1}{2}$r（a+b+c）=10$\sqrt{3}$，
解得r=$\sqrt{3}$，
∴△ABC內切圓的面積為S_內切圓=πr²=3π．

點評 本題考查了平面向量數量積的定義與應用問題，也考查了正弦定理與三角形的面積公式應用問題，是綜合性題目．