Question

20．已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)y=f（x+m）在[-1，1]上單調(diào)，求m的取值范圍；
（3）當(dāng)x∈[-1，1]時，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求實數(shù)m的范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出二次函數(shù)的解析式由f（0）=1可求c=1，再由f（x+1）-f（x）=2x構(gòu)造方程組可求a、b的值，可得答案．
（2）函數(shù)y=f（x+m）的圖象是開口朝上，且以直線x=$\frac{1-2m}{2}$為對稱軸的拋物線，若g（x）在[-1，1]上是單調(diào)函數(shù)，則$\frac{1-2m}{2}$≤-1，或$\frac{1-2m}{2}$≥1，進(jìn)而可得實數(shù)m的取值范圍；
（3）當(dāng)x∈[-1，1]時，不等式f（x）＞2x+m恒成立，即x²-3x+1＞m恒成立，令g（x）=x²-3x+1，x∈[-1，1]，求出函數(shù)的最小值，可得實數(shù)m的范圍．

解答 解：（1）設(shè)y=f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x，
∴c=1且a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2x，
∴2a=2，a+b=0，
解得a=1，b=-1，
函數(shù)f（x）的表達(dá)式為f（x）=x²-x+1．．…（3分）
（2）∵y=f（x+m）=x²+（2m-1）x+1-m的圖象是開口朝上，且以直線x=$\frac{1-2m}{2}$為對稱軸的拋物線，
若g（x）在[-1，1]上是單調(diào)函數(shù)，
則$\frac{1-2m}{2}$≤-1，或$\frac{1-2m}{2}$≥1，
解得：m∈（-∞，$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{3}{2}$，+∞）．…（6分）
（3）當(dāng)x∈[-1，1]時，f（x）＞2x+m恒成立，即x²-3x+1＞m恒成立，
令g（x）=x²-3x+1，x∈[-1，1]，
∴g（x）在[-1，1]上遞減，
∴當(dāng)x=1時，g（x）取最小值-1，
∴m＜-1．…（12分）

點評 本題考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)模型已知的函數(shù)解析式，二次函數(shù)的單調(diào)性，難度不大，屬于中檔題．