Question

（本小題12分） 如圖，在邊長為12的正方形中，點B、C在線段AA′­上，且AB=3，BC=4.作BB1∥AA1，分別交A1A1′、AA1′于點B1、P；作CC1∥AA1，分別交A1A1′、AA1′于點C1、Q. 現將該正方形沿BB1，CC1折疊，使得與AA1重合，構成如圖（2）所示的三棱柱ABC-A1B1C1.

（1）在三棱柱ABC-A1B1C1中，求證：AP⊥BC;

（2）在三棱柱ABC-A1B1C1中，連接AQ與A1P，求四面體AA1QP的體積；

（3）在三棱柱ABC- A1B1C1中，求直線 PQ與直線AC所成角的余弦值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）24；（3） .

【解析】

試題分析：（1）由勾股定理逆定理，可得BC⊥AB，再由線面垂直的判定定理和性質定理，即可得證；

（2）求出三角形APA1的面積和Q到面APA1距離，運用棱錐的體積公式，即可得到；

（3）以BA，BC，BB1為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，求出向量AC，PQ的坐標，由向量的夾角公式，即可得到．

試題解析：（1）因為AB=3，BC=4，

所以圖（2）中AC=5，

從而有AC2=AB2+BC2，即BC⊥AB．

又因為BC⊥BB1，

所以BC⊥平面ABB1A1，

則AP⊥BC；

（2），

由于CQ∥面APA1且BC⊥面APA1，

所以Q到面APA1距離就是BC的長4，

所以；

（3）以BA，BC，BB1為x，y，z軸，建立如圖空間直角坐標系，

則A（3，0，0）、C（0，4，0）、P（0，0，3）、Q（0，4，7）．

所以=（﹣3，4，0），=（0，4，4），

設直線AC與直線PQ所成角為θ，

則 ．

考點：空間直線與平面的位置關系；線面平行和垂直的判定和性質定理及運用；棱錐的體積公式；異面直線所成的角的求法.