Question

17．將矩形ABCD繞邊AB旋轉一周得到一個圓柱，AB=3，BC=2，圓柱上底面圓心為O，△EFG為下底面圓的一個內接直角三角形，則三棱錐O-EFG體積的最大值是4．

Answer 1

分析 三棱錐O-EFG的高為圓柱的高，即高為ABC，當三棱錐O-EFG體積取最大值時，△EFG的面積最大，當EF為直徑，且G在EF的垂直平分線上時，（S_△EFG）_max=$\frac{1}{2}×4×2=4$，由此能求出三棱錐O-EFG體積的最大值．

解答 解：∵將矩形ABCD繞邊AB旋轉一周得到一個圓柱，AB=3，BC=2，
圓柱上底面圓心為O，△EFG為下底面圓的一個內接直角三角形，
∴三棱錐O-EFG的高為圓柱的高，即高為ABC，
∴當三棱錐O-EFG體積取最大值時，△EFG的面積最大，
當EF為直徑，且G在EF的垂直平分線上時，
（S_△EFG）_max=$\frac{1}{2}×4×2=4$，
∴三棱錐O-EFG體積的最大值V_max=$\frac{1}{3}×（{S}_{△EFG}）_{max}×AB$=$\frac{1}{3}×4×3=4$．
故答案為：4．

點評 本題考查三棱錐的體積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．