Question

2．如圖所示，某街道居委會擬在EF地段的居民樓正南方向的空白地段AE上建一個活動中心，其中AE=30米．活動中心東西走向，與居民樓平行．從東向西看活動中心的截面圖的下部分是長方形ABCD，上部分是以DC為直徑的半圓．為了保證居民樓住戶的采光要求，活動中心在與半圓相切的太陽光線照射下落在居民樓上的影長GE不超過2.5米，其中該太陽光線與水平線的夾角θ滿足$tanθ=\frac{3}{4}$．
（1）若設計AB=18米，AD=6米，問能否保證上述采光要求？
（2）在保證上述采光要求的前提下，如何設計AB與AD的長度，可使得活動中心的截面面積最大？（注：計算中π取3）

Answer 1

分析 （1）以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系．設太陽光線所在直線方程為$y=-\frac{3}{4}x+b$，利用直線與圓相切，求出直線方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即可得出結論；
（2）欲使活動中心內部空間盡可能大，則影長EG恰為2.5米，即可求出截面面積最大

解答 解：如圖所示，以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系．
（1）因為AB=18，AD=6，所以半圓的圓心為H（9，6），
半徑r=9．設太陽光線所在直線方程為$y=-\frac{3}{4}x+b$，
即3x+4y-4b=0，…（2分）
則由$\frac{|27+24-4b|}{{\sqrt{{3^2}+{4^2}}}}=9$，
解得b=24或$b=\frac{3}{2}$（舍）．
故太陽光線所在直線方程為$y=-\frac{3}{4}x+24$，…（5分）
令x=30，得EG=1.5米＜2.5米．
所以此時能保證上述采光要求…（7分）
（2）設AD=h米，AB=2r米，則半圓的圓心為H（r，h），半徑為r．
欲使活動中心內部空間盡可能大，則影長EG恰為2.5米，則此時點G為（30，2.5），
設過點G的上述太陽光線為l₁，則l₁所在直線方程為y-$\frac{5}{2}$=-$\frac{3}{4}$（x-30），
即3x+4y-100=0…（10分）
由直線l₁與半圓H相切，得$r=\frac{|3r+4h-100|}{5}$．
而點H（r，h）在直線l₁的下方，則3r+4h-100＜0，
即$r=-\frac{3r+4h-100}{5}$，從而h=25-2r…（13分）
又$S=2rh+\frac{1}{2}π{r^2}=2r（25-2r）+\frac{3}{2}×{r^2}$=$-\frac{5}{2}{r^2}+50r=-\frac{5}{2}{（r-10）^2}+250≤250$．
當且僅當r=10時取等號．
所以當AB=20米且AD=5米時，可使得活動中心的截面面積最大…（16分）

點評 本題考查利用數學知識解決實際問題，考查直線與圓的位置關系，考查配方法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．