Question

設(shè)F₁、F₂是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若|PF₁|+|PF₂|=6a，且△PF₁F₂最小內(nèi)角的大小為30°，則雙曲線C的漸近線方程是（　　）

• A、

  2

  x±y=0
• B、x±

  2

  y=0
• C、x±2y=0
• D、2x±y=0

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,解三角形,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：不妨設(shè)P為右支上一點(diǎn)，由雙曲線的定義，可得，|PF₁|-|PF₂|=2a，求出△PF₁F₂的三邊，比較即可得到最小的角，再由余弦定理，即可得到c=

3

a，再由a，b，c的關(guān)系，結(jié)合漸近線方程，即可得到所求．

解答： 解：不妨設(shè)P為右支上一點(diǎn)，
由雙曲線的定義，可得，|PF₁|-|PF₂|=2a，
又|PF₁|+|PF₂|=6a，
解得，|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，
且|F₁F₂|=2c，
由于2a最小，即有∠PF₁F₂=30°，
由余弦定理，可得，cos30°=

|PF1|2+|F1F2|2-|PF2|2

2|PF1|•|F1F2|

=

16a2+4c2-4a2

2×4a•2c

=

3

2

．
則有c²+3a²=2

3

ac，即c=

3

a，
則b=

c2-a2

=

2

a，
則雙曲線的漸近線方程為y=±

b

a

x，
即為y=±

2

x，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查雙曲線的漸近線方程的求法，考查三角形的余弦定理和運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．