Question

設平面內互不相等的非零向量

a

、

b

滿足|

a

|=1，

a

-

b

與

b

的夾角為150°，則

a

•

b

的最大值為

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：設

a

=

OA

，

b

=

OB

，則

BA

=

a

-

b

，由已知可得：B點為半徑為1的圓上與OA不重合的動點，進而利用坐標法，結合三角函數的圖象和性質，可得答案．

解答： 解：設

a

=

OA

，

b

=

OB

，
則

BA

=

a

-

b

，
∵|

a

|=1，

a

-

b

與

b

的夾角為150°，
∴△OAB中，OA=1，∠OBA=180°-30°，
由正弦定理可得：△OAB的半徑為1，
則B點為圓上與OA不重合的動點，

由上圖可令

a

=

OA

=（

1

2

，-

3

2

），

b

=

OB

=（1+cosθ，sinθ）
則

a

•

b

=

1

2

+

1

2

cosθ-

3

2

sinθ=

1

2

+sin（

π

6

-θ），
當sin（

π

6

-θ）=1時，

a

•

b

的最大值為：

3

2

故答案為：

3

2

點評：本題考查的知識點是平面向量的數量積運算，正弦型函數的圖象和性質，是三角函數與向量的綜合應用，難度中檔．