Question

10．如圖所示，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的面對角線A₁B上存在一點P使得AP+D₁P取得最小值，若此最小值為$2\sqrt{2+\sqrt{2}}$，則a的值是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 把對角面A₁C繞A₁B旋轉，使其與△AA₁B在同一平面上，連接AD₁，則在△AA₁D中，利用余弦定理即可得出．

解答 解：把對角面A₁C繞A₁B旋轉，使其與△AA₁B在同一平面上，連接AD₁，則在△AA₁D中，
由$A{D_1}=\sqrt{{a^2}+{a^2}-2{a^2}cos{{135}°}}=a\sqrt{2+\sqrt{2}}$，而$a\sqrt{2+\sqrt{2}}=2\sqrt{2+\sqrt{2}}$，
∴a=2．
故選：B．

點評 本題考查了正方體的性質、余弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．