Question

20．△ABC中，若cosA=$\frac{3}{5}$，sinB=$\frac{5}{13}$，則cosC=-$\frac{16}{65}$．

Answer 1

分析 由cosA的值大于0，得到A為銳角，利用同角三角函數間的基本關系求出sinA，利用正弦定理可得a＞b，B為銳角，進而可求cosB，利用內角和定理及誘導公式得到cosC=-cos（A+B），利用兩角和與差的余弦函數公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值．

解答 解：∵cosA=$\frac{3}{5}$＞0，sinB=$\frac{5}{13}$，
∴0°＜A＜90°（A為三角形內角），
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{4}{5}$＞$\frac{5}{13}$=sinB，
∴a＞b，可得：B為銳角，
∴cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{12}{13}$，
∴cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-（$\frac{3}{5}$）×$\frac{12}{13}$+$\frac{4}{5}×$$\frac{5}{13}$=-$\frac{16}{65}$．
故答案為：-$\frac{16}{65}$．

點評 此題考查了兩角和與差的余弦函數公式，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握公式是解本題的關鍵，屬于基礎題．