Question

8．已知定義在R上的函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R）的圖象關于原點對稱，且當x=1時，f（x）取極小值-2．
（Ⅰ）求f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）解關于x的不等式f（x）＞5mx²-（4m²+3）x（m∈R）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據x=1是函數的極值點以及函數的奇偶性求出函數f（x）的解析式，從而解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；
（Ⅱ）問題轉化為x（x-m）（x-4m）＞0，通過討論m的范圍，求出不等式的解集即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知得f（x）為奇函數，且f（0）=0，
∴b=0，d=0，f'（x）=3ax²+c…（2分）
當x=1時，f（x）取極小值，
∴$\left\{\begin{array}{l}3a+c=0\\ a+c=-2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ c=-3\end{array}\right.$…（4分）
∴f'（x）=3x²-3＞0時，f（x）單調遞增，
解得x＜-1或x＞1
∴f（x）的單調遞增區間是（-∞，-1），（1，+∞）…（6分）
（Ⅱ）x³-3x＞5mx²-（4m²+3）x，
即x（x-m）（x-4m）＞0…（8分）
即m=0時，x³＞0，x＞0…（9分）m＞0時，x＞4m或0＜x＜m；…（10分）
m＜0時，x＞0或4m＜x＜m…（11分）
故當m=0時，所求不等式的解集是{x|x＞0}；
當m＞0時，所求不等式的解集是{x|x＞4m或0＜x＜m}；
當m＜0時，所求不等式的解集是{x|x＞0或4m＜x＜m}…（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．