Question

14．已知直線l：x+2y=0，圓C：x²+y²-6x-2y-15=0，求直線l被圓C所截得的線段的長．

Answer 1

分析 根據圓的方程找出圓心坐標和半徑，過點A作AC⊥弦BD，可得C為BD的中點，根據勾股定理求出BC，即可求出弦長BD的長．

解答
解：過點A作AC⊥弦BD，垂足為C，連接AB，可得C為BD的中點．
由x²+y²-6x-2y-15=0，得（x-3）²+（y-1）²=25．
知圓心A為（3，1），r=5．
由點A（3，1）到直線x+2y=0的距離AC=$\frac{5}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$．
在直角三角形ABC中，AB=5，AC=$\sqrt{5}$，
根據勾股定理可得BC=$\sqrt{25-5}$=2$\sqrt{5}$，
則弦長BD=2BC=4$\sqrt{5}$．

點評 本題考查學生靈活運用垂徑定理解決實際問題的能力，靈活運用點到直線的距離公式及勾股定理化簡求值，會利用數形結合的數學思想解決數學問題，是一道綜合題．