Question

19．“a=2”是“直線（a²-a）x+y=0和直線2x+y+1=0互相平行”的充分不必要條件，若曲線y²=xy+2x+k通過點（a，-a）（a∈R），則k的取值范圍是$[-\frac{1}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 ①若直線（a²-a）x+y=0和直線2x+y+1=0互相平行，則-（a²-a）=-2，解得a即可判斷出結論．
②若曲線y²=xy+2x+k通過點（a，-a）（a∈R），則a²=-a²+2a+k，可得k=a²-2a=2$（a-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{2}$，利用二次函數的單調性即可得出范圍．

解答 解：①若直線（a²-a）x+y=0和直線2x+y+1=0互相平行，
則-（a²-a）=-2，解得：a=2或-1．
∴“a=2”是“直線（a²-a）x+y=0和直線2x+y+1=0互相平行”的充分不必要條件．
②若曲線y²=xy+2x+k通過點（a，-a）（a∈R），則a²=-a²+2a+k，可得k=a²-2a=2$（a-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{2}$≥$-\frac{1}{2}$．
則k的取值范圍是$[-\frac{1}{2}，+∞）$．
故答案為：充分不必要，$[-\frac{1}{2}，+∞）$．

點評 本題考查了函數的單調性、相互平行的直線斜率之間的關系、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．