Question

3．已知函數f（x）=x²-2x+1，g（x）=2aln（x-1）（a∈R）．
（1）求函數h（x）=f（x）-g（x）的極值；
（2）當a＞0時，若存在實數k，m使得不等式g（x）≤kx+m≤f（x）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出h（x），得出導函數，對參數a分類討論即可；
（2）結合（1）的討論，當a＞0時，有（1）知，h（x）在$（1，1+\sqrt{a}]$上遞減，在$（1+\sqrt{a}，+∞）$上遞增，且有極小值$h（1+\sqrt{a}）=a（1-lna）$，構造函數$u（x）={[x-（1+\sqrt{a}）]^2}≥0$，
，$v（x）=2\sqrt{a}x-（2\sqrt{a}+a）-g（x）$=$2\sqrt{a}x-（2\sqrt{a}+a）-2aln（x-1）$，對參數a分類討論即可．

解答 解：（1）由題意得h（x）=（x-1）²-2aln（x-1），x＞1，
∴$h'（x）=\frac{{2[{{（x-1）}^2}-a]}}{x-1}$，
①當a≤0時，則h'（x）＞0，此時h（x）無極值；
②當a＞0時，令h'（x）＜0，則$1＜x＜1+\sqrt{a}$；令h'（x）＞0，則$x＞1+\sqrt{a}$；
∴h（x）在$（1，1+\sqrt{a}]$上遞減，在$（1+\sqrt{a}，+∞）$上遞增；
∴h（x）有極小值$h（1+\sqrt{a}）=a（1-lna）$，無極大值；
（2）當a＞0時，有（1）知，h（x）在$（1，1+\sqrt{a}]$上遞減，在$（1+\sqrt{a}，+∞）$上遞增，且有極小值$h（1+\sqrt{a}）=a（1-lna）$，
①當a＞e時，$h（1+\sqrt{a}）=a（1-lna）＜0$，
∴$f（1+\sqrt{a}）＜g（1+\sqrt{a}）$，
此時，不存在實數k，m，使得不等式g（x）≤kx+m≤f（x）恒成立；
②當0＜a≤e時，$h（1+\sqrt{a}）=a（1-lna）≥0$，f（x）=x²-2x+1在$x=1+\sqrt{a}$處的切線方程為$y=2\sqrt{a}x-（2\sqrt{a}+a）$，
令$u（x）=f（x）-[2\sqrt{a}x-（2\sqrt{a}+a）]$，x＞1，
則$u（x）={[x-（1+\sqrt{a}）]^2}≥0$，
∴$2\sqrt{a}x-（2\sqrt{a}+a）≤f（x）$，
令$v（x）=2\sqrt{a}x-（2\sqrt{a}+a）-g（x）$=$2\sqrt{a}x-（2\sqrt{a}+a）-2aln（x-1）$，x＞1，
則$v'（x）=\frac{{2\sqrt{a}[x-（1+\sqrt{a}）]}}{x-1}$，
令v'（x）＜0，則$1＜x＜1+\sqrt{a}$；令v'（x）＞0，則$x＞1+\sqrt{a}$；
∴$v（x）≥v（1+\sqrt{a}）$=a（1-lna）≥0，
∴$g（x）≤2\sqrt{a}x-（2\sqrt{a}+a）$，
∴$g（x）≤2\sqrt{a}x-（2\sqrt{a}+a）≤f（x）$，
當$k=2\sqrt{a}$，$m=-2\sqrt{a}-a$時，不等式g（x）≤kx+m≤f（x）恒成立，
∴0＜a≤e符合題意；
由①，②得實數a的取值范圍為（0，e]．

點評 本題考查了利用導函數判斷函數的極值，難道是對題意的理解和通過函數構造解決實際問題的方法．