Question

（本小題滿分14分）已知橢圓C：的焦距為4，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)之比為．

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)F為橢圓C的右焦點(diǎn)，T為直線上縱坐標(biāo)不為0的任意一點(diǎn)，過F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q.

（ⅰ）若OT平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的值；

（ⅱ）在（ⅰ）的條件下，當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）；（ⅱ）當(dāng)最小時(shí)，T點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，1）或（3，－1）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用條件“焦距為4，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)之比為”列方程求出的值從而確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，0）. 設(shè)直線PQ的方程為x＝my+2，將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得消去得到關(guān)于的一元二次方程，于是可利用韋達(dá)定理與兩直線的位置關(guān)系確定的值.（ⅱ）由（ⅰ）知T為直線上任意一點(diǎn)可得，點(diǎn)T點(diǎn)的坐標(biāo)為.利用兩點(diǎn)間的距離公式將表示成的函數(shù)，最后利用函數(shù)或不等式的方法求出其取得最小值時(shí)的值，從而確定T點(diǎn)的縱坐標(biāo)..

試題解析：【解析】
（Ⅰ）由已知可得

解得a2＝6，b2＝2，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是. （4分）

（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）.

由題意知直線PQ的斜率存在且不為0，設(shè)直線PQ的方程為x＝my+2.

將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得

消去x，得（m2＋3）y2+4my－2＝0，其判別式Δ＝16m2＋8（m2＋3）>0.

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則，.

于是.

設(shè)M為PQ的中點(diǎn)，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040806100474532996/SYS201504080610241679709671_DA/SYS201504080610241679709671_DA.020.png">，所以直線FT的斜率為，其方程為.

當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，

此時(shí)直線OT的斜率為，其方程為.

將M點(diǎn)的坐標(biāo)為代入，

得.解得. （8分）

（ⅱ）由（ⅰ）知T點(diǎn)的坐標(biāo)為.

于是，

.

所以

.

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取得最小值．

故當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是或． （14分）

考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線與橢圓的位置關(guān)系綜合問題.