Question

（本小題滿分12分）“ALS冰桶挑戰賽”是一項社交網絡上發起的籌款活動，活動規定：被邀請者要么在24小時內接受挑戰，要么選擇為慈善機構捐款（不接受挑戰），并且不能重復參加該活動.若被邀請者接受挑戰，則他需在網絡上發布自己被冰水澆遍全身的視頻內容，然后便可以邀請另外3個人參與這項活動.假設每個人接受挑戰與不接受挑戰是等可能的，且互不影響.

（Ⅰ）若某被邀請者接受挑戰后，對其他3個人發出邀請，則這3個人中至少有2個人接受挑戰的概率是多少？

（Ⅱ）假定（Ⅰ）中被邀請到的3個人中恰有兩人接受挑戰.根據活動規定，現記為接下來被邀請到的6個人中接受挑戰的人數，求的分布列和均值（數學期望）.

Answer 1

（Ⅰ）; （Ⅱ）

【解析】

試題分析：解法一：（Ⅰ）這3個人接受挑戰分別記為、、，則分別表示這3個人不接受挑戰．

列出這3個人參與該項活動的所有可能結果，統計其中至少有2個人接受挑戰的可能結果，再根據古典概型的概率公式，即可求出概率；（Ⅱ）因為每個人接受挑戰與不接受挑戰是等可能的，所以每個人接受挑戰的概率為，不接受挑戰的概率也為，根據離散型隨機變量的概率即可求出概率和分布列，進而求出期望. 解法二：因為每個人接受挑戰與不接受挑戰是等可能的,所以每個人接受挑戰的概率為，不接受挑戰的概率也為．（Ⅰ）設事件M為“這3個人中至少有2個人接受挑戰”， 根據離散型隨機變量的概率即可求出結果； （Ⅱ）因為為接下來被邀請的6個人中接受挑戰的人數，所以，進而求出期望.

試題解析：解法一：（Ⅰ）這3個人接受挑戰分別記為、、，則分別表示這3個人不接受挑戰．

這3個人參與該項活動的可能結果為：，，，，，，，．共有8種； 2分

其中，至少有2個人接受挑戰的可能結果有：，，，，共有4種． 3分

根據古典概型的概率公式，所求的概率為． 4分

（說明：若學生先設“用中的依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑戰的情況”，再將所有結果寫成,,，,,,,，不扣分．）

（Ⅱ）因為每個人接受挑戰與不接受挑戰是等可能的，

所以每個人接受挑戰的概率為，不接受挑戰的概率也為． 5分

所以，，

，，

，，

9分

故的分布列為：

	0	1	2	3	4	5	6

所以．

故所求的期望為． 12分

解法二：因為每個人接受挑戰與不接受挑戰是等可能的，

所以每個人接受挑戰的概率為，不接受挑戰的概率也為． 1分

（Ⅰ）設事件M為“這3個人中至少有2個人接受挑戰”，

則． 4分

（Ⅱ）因為為接下來被邀請的6個人中接受挑戰的人數，

所以． 5分

所以，，

，，

，，

9分

故的分布列為：

	0	1	2	3	4	5	6

所以．

故所求的期望為． 12分.

考點：1. 離散型隨機變量的概率;2.分布列;3.數學期望.