Question

6．設某等腰三角形的底角為α，頂角為β，且cosβ=$\frac{3}{5}$．
（Ⅰ）求sinα的值；
（Ⅱ）若函數f（x）=tanx在[-$\frac{π}{3}$，α]上的值域與函數g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）在[0，m]上的值域相同，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意，β=π-2α，利用cosβ=$\frac{3}{5}$=-cos2α=2sin²α-1求sinα的值；
（Ⅱ）若函數f（x）=tanx在[-$\frac{π}{3}$，α]上的值域與函數g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）在[0，m]上的值域相同，得出y=sinx在[-$\frac{π}{3}$，2m-$\frac{π}{3}$]上的取值范圍是[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，即可求m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意，β=π-2α，
∴cosβ=$\frac{3}{5}$=-cos2α=2sin²α-1
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），∴sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（Ⅱ）由題意，函數f（x）=tanx在[-$\frac{π}{3}$，α]上單調遞增，
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴tanα=2，
∴函數f（x）=tanx在[-$\frac{π}{3}$，α]上的值域為[-$\sqrt{3}$，2]，
∴函數g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）在[0，m]上的值域為[-$\sqrt{3}$，2]，
∴y=sinx在[-$\frac{π}{3}$，2m-$\frac{π}{3}$]上的取值范圍是[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴$\frac{π}{2}$≤2m-$\frac{π}{3}$≤$\frac{4π}{3}$，
∴$\frac{5π}{12}$≤m≤$\frac{5π}{6}$．

點評 本題考查三角函數的圖象與性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．