Question

【題目】已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).

（1）求的取值范圍.

（2）設(shè)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，證明

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，即在有兩個(gè)不同根.變量分離為 ，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，根據(jù)趨勢(shì)可得函數(shù)在上范圍為，在上范圍為，因此要有兩解，需，（2）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式關(guān)鍵是構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)： 等價(jià)于 ，而由零點(diǎn)可得.代入化簡(jiǎn)得，令，則，因此構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值為，由于，所以命題得證.

試題解析：（1）依題意，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，所以方程在有兩個(gè)不同根.即方程在有兩個(gè)不同根.

轉(zhuǎn)化為，函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)

又，即時(shí)， ， 時(shí)， ，

所以在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，從而.

又有且只有一個(gè)零點(diǎn)是1，且在時(shí)， ，在時(shí)， ，

所以由的圖象，要想函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，只需，即

（2）由（1）可知分別是方程的兩個(gè)根，即， ，

設(shè)，作差得， ，即.

原不等式等價(jià)于

令，則， ，

設(shè)， ， ，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，

即不等式成立，故所證不等式成立.