Question

10．已知C₁在直角坐標系下的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\\ y=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t-1\end{array}\right.（t為參數）$，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，有曲線C₂：ρ=2cosθ-4sinθ．
（Ⅰ）將C₁的方程化為普通方程，并求出C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）求曲線C₁和C₂兩交點之間的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三種方程的互化方法，即可將C₁的方程化為普通方程，并求出C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）求出圓心（1，-2）到直線的距離，即可求曲線C₁和C₂兩交點之間的距離．

解答 解：（Ⅰ）C₁在直角坐標系下的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\\ y=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t-1\end{array}\right.（t為參數）$，消參后得C₁為y-2x+1=0．
由ρ=2cosθ-4sinθ得ρ²=2ρcosθ-4ρsinθ．∴x²+y²=2x-4y，
∴C₂的直角坐標方程為（x-1）²+（y+2）²=5..…（5分）
（Ⅱ）∵圓心（1，-2）到直線的距離$d=\frac{{|{-2-2+1}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{3}{{\sqrt{5}}}$．
∴$|{AB}|=2\sqrt{{{（\sqrt{5}）}^2}-{{（\frac{3}{{\sqrt{5}}}）}^2}}=\frac{{8\sqrt{5}}}{5}$．…（10分）

點評 本題考查三種方程的互化，考查直線與圓的位置關系，考查點到直線的距離公式，屬于中檔題．