Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點F（-1，0），過點F作與x軸垂直的直線與橢圓交于M，N兩點，且|MN|=3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點F（-1，0）的直線交橢圓于A，B兩點，線段AB的中點為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D，E兩點，記△GFD的面積為S₁，△OED的面積為S₂，若λ=$\frac{S_1}{S_2}$，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的左焦點F（-1，0），過點F作與x軸垂直的直線與橢圓交于M，N兩點，且|MN|=3，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設直線AB的方程為y=k（x+1），聯立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，由此利用韋達定理、中點坐標公式、直線垂直、三角形相似，結合已知條件能求出結果．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點F（-1，0），
∴依題意，得c=1，
∵過點F作與x軸垂直的直線與橢圓交于M，N兩點，且|MN|=3．
∴通徑|MN|=$\frac{2^{2}}{a}$=3，
∴$\frac{2^{2}}{a}=\frac{2（{a}^{2}-1）}{a}$=3，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）由題意得直線AB不能與x，y軸垂直，∴直線AB的斜率存在，
設直線AB的方程為y=k（x+1），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，${y}_{1}+{y}_{2}=k（{x}_{1}+{x}_{2}）+2k=\frac{6k}{4{k}^{2}+3}$，
∴線段AB的中點G（$\frac{-4{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，$\frac{3k}{4{k}^{2}+3}$），
∵DG⊥AB，∴$\frac{\frac{3k}{4{k}^{2}+3}}{\frac{-4{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}-{{x}_{D}}^{\;}}×k$=-1，解得x_D=$\frac{-{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，D（$\frac{-{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，0），
∵△GFD∽△OED，$\frac{|GF|}{|OE|}$=$\frac{|DG|}{|OD|}$，∴$\frac{|GF|}{|OE|}•\frac{|DG|}{|OD|}$=（$\frac{|DG|}{|OD|}$）²，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=（$\frac{|DG|}{|OD|}$）²，λ=（$\frac{|DG|}{|OD|}$）²，
（$\frac{-{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}-\frac{-4{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$）²+（$\frac{3k}{4{k}^{2}+3}$）²=λ（$\frac{-{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$）²，
整理，得9k⁴+9k²=λk²，又∵k≠0，${k}^{2}=\frac{9}{λ-9}＞0$，
解得λ＞9．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、中點坐標公式、直線垂直、三角形相似、橢圓性質的合理運用．