Question

17．已知定義在區間[0，2]上的兩個函數f（x）和g（x），其中f（x）=x²-2ax+4（a≥1），g（x）=ln（x+1）-ln3+$\frac{4}{3}$．
（1）求函數y=f（x）的最小值m（a）；
（2）若對任意x₁、x₂∈[0，2]，f（x₂）＞g（x₁）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將f（x）配方，通過討論a的范圍，求出m（a）的解析式即可；
（2）問題轉化為f（x₂）_min＞g（x₁）_max，根據函數的單調性得到關于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）由f（x）=x²-2ax+4=（x-a）²+4-a²，
當1≤a＜2時，m（a）=f（a）=4-a²；
當a≥2時，f（x）在[0，2]上遞減，
故m（a）=f（2）=8-4a．
∴m（a）=$\left\{\begin{array}{l}{4{-a}^{2}，1≤a＜2}\\{8-4a，a≥2}\end{array}\right.$；
（2）由g（x）=ln（x+1）-ln3+$\frac{4}{3}$，
得g（x）在區間[0，2]上單調遞增，
故當x∈[0，2]時，g（x）∈[$\frac{4}{3}$-ln3，$\frac{4}{3}$]．
由題設，得f（x₂）_min＞g（x₁）_max，
故$\left\{\begin{array}{l}{1≤a＜2}\\{4{-a}^{2}＞\frac{4}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≥2}\\{8-4a＞\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
解得：1≤a＜$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查了二次函數的性質，考查函數的單調性、最值問題，是一道中檔題．