Question

3．經市場調查，某商品每噸的價格為x（1＜x＜14）萬元時，該商品的月供給量為y₁噸，y₁=ax+$\frac{7}{2}$a²-a（a＞0）：月需求量為y₂噸，y₂=-$\frac{1}{224}$x²-$\frac{1}{112}$x+1，當該商品的需求量大于供給量時，銷售量等于供給量：當該商品的需求量不大于供給量時，銷售量等于需求量，該商品的月銷售額等于月銷售量與價格的乘積．
（1）已知a=$\frac{1}{7}$，若某月該商品的價格為x=7，求商品在該月的銷售額（精確到1元）；
（2）記需求量與供給量相等時的價格為均衡價格，若該商品的均衡價格不低于每噸6萬元，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）計算y₁，y₂，比較大小確定銷售量，再計算銷售額；
（2）令f（x）=y₁-y₂，則f（x）在[6，14）上有零點，根據零點的存在性定理列不等式組解出a的范圍．

解答 解：（1）當a=$\frac{1}{7}$，x=7時，y₁=$\frac{1}{7}$×7+$\frac{7}{2}$×（$\frac{1}{7}$）²-$\frac{1}{7}$=1+$\frac{1}{14}$-$\frac{1}{7}$=$\frac{13}{14}$，
y₂=-$\frac{1}{224}$×（7）²-$\frac{1}{112}$×7+1=$\frac{37}{32}$，
∴y₁＜y₂，
∴該月銷售額為7×$\frac{23}{32}$×10⁴≈50313（元）．
（2）令f（x）=y₁-y₂=$\frac{1}{224}$x²+（$\frac{1}{112}$+a）x+$\frac{7}{2}{a}^{2}$-a-1，
則f（x）在[6，14）上有零點，
∵a＞0，∴f（x）對稱軸為直線x=-$\frac{\frac{1}{112}+a}{\frac{1}{112}}$＜0，又f（x）的圖象開口向上，
∴f（x）在[6，14）上只有1個零點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（6）≤0}\\{f（14）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{36}{224}+6（\frac{1}{112}+a）+\frac{7}{2}{a}^{2}-a-1≤0}\\{\frac{196}{224}+14（\frac{1}{112}+a）+\frac{7}{2}{a}^{2}-a-a＞0}\end{array}\right.$，
又a＞0，
解得：0＜a≤$\frac{1}{7}$．

點評 本題考查了二次函數的性質，零點的存在性定理，屬于中檔題．