Question

18．在鈍角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且b=atanB．
（Ⅰ）求A-B的值；
（Ⅱ）求cos2B-sinA的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由b=atanB得：bcosB=asinB，再利用正弦定理即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$cos2B-sinA=2{cos^2}B-cosB-1=2{（cosB-\frac{1}{4}）^2}-\frac{9}{8}$，利用二次函數的單調性、三角函數的單調性與值域即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由b=atanB得：bcosB=asinB（1分）
又由正弦定理得，sinBcosB=sinAsinB，（3分）
所以cosB=sinA（4分）
又△ABC是鈍角三角形，所以$A-B=\frac{π}{2}$．  （6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$cos2B-sinA=2{cos^2}B-cosB-1=2{（cosB-\frac{1}{4}）^2}-\frac{9}{8}$（8分）
又由$A＞\frac{π}{2}$，所以$0＜B＜\frac{π}{2}，0＜C=π-（A+B）=\frac{π}{2}-2B＜\frac{π}{2}$，
所以$0＜B＜\frac{π}{4}$，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜cosB＜1$（10分）
又由于函數$y=2{（x-\frac{1}{4}）^2}-\frac{9}{8}$在$（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$上單調遞增，
所以cos2B-sinA的取值范圍為$（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0）$．（12分）

點評 本題考查了正弦定理、二次函數的單調性、三角函數的單調性與值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．