Question

已知函數．

（1）若，解方程；

（2）若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍；

（3）若且不等式對一切實數恒成立，求的取值范圍

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）對于含二次項恒成立的問題，注意討論二次項系數是否為0，這是學生容易漏掉的地方；恒成立問題一般需轉化為最值，利用單調性證明在閉區間的單調性．（2）一元二次不等式在上恒成立，看開口方向和判別式．（3）含參數的一元二次不等式在某區間內恒成立的問題通常有兩種處理方法：一是利用二次函數在區間上的最值來處理；二是分離參數，再去求函數的最值來處理，一般后者比較簡單；（4）二次函數、二次方程與二次不等式統稱“三個”二次，它們常結合在一起，有關二次函數的問題，數形結合，密切聯系圖象是探求解題思路的有效方法，一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點值符合四個方面分析；二次函數的綜合問題應用多涉及單調性與最值或二次方程根的分布問題，解決的主要思路是等價轉化，多用到數形結合思想與分類討論思想．

試題解析：【解析】
（1）當時，， 故有

， 2分

當時，由，有，解得或 3分

當時，恒成立 4分

∴ 方程的解集為

5分

（2）， 7分

若在上單調遞增，則有

， 解得， 9分

∴ 當時，在上單調遞增 10分

（3）設

則 11分

不等式對一切實數恒成立，等價于不等式對一切實數恒成立．

，

當時，單調遞減，其值域為，

由于，所以成立． 12分

 

當時，由，知， 在處取最小值，

令，得，又，所以

綜上，． 14分

 

考點：（1）一元二次不等式的解法；（2）一元二次不等式的單調性；（3）恒成立的問題．