Question

設數列的前項和為，且，其中為常數,且

（Ⅰ）證明：數列是等比數列；

（Ⅱ）設數列的公比，數列滿足，（求數列的通項公式；

（Ⅲ）設，，數列的前項和為

 

Answer 1

（1）見解析 （2） （3）

【解析】

試題分析：（1）證明一個數列是否為等差數列的基本方法有兩種：一是定義法：證明；二是等差中項法，證明，若證明一個數列不是等差數列，則只需舉出反例即可；（2）根據等差數列的首項和公差求通項公式；根據等比數列的首項和公比求通項公式；注意題中限制條件；（3）一般地，如果數列是等差數列，是等比數列，求數列的前項的和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數列的公比，然后做差求解.

試題解析：（Ⅰ）由，

相減得：，∴，

∴數列是等比數列．

（Ⅱ），∴，

∴是首項為，公差為1的等差數列；∴，

∴．

（Ⅲ）時，，∴，

∴， ①

②

①②得，

.

考點：等比數列的定義及錯位相減求數列的和..