Question

18．若“?x∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得2x²-λx+1＜0成立”是假命題，則實數λ的取值范圍為（　　）

• A． （-∞，2$\sqrt{2}$]
• B． [2$\sqrt{2}$，3]
• C． [-2$\sqrt{2}$，3]
• D． λ=3

Answer 1

分析 若“?x∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得2x²-λx+1＜0成立”是假命題，即“?x∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得λ＞2x+$\frac{1}{x}$成立”是假命題，結合對勾函數的圖象和性質，求出x∈[$\frac{1}{2}$，2]時，2x+$\frac{1}{x}$的最值，可得實數λ的取值范圍．

解答 解：若“?x∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得2x²-λx+1＜0成立”是假命題，
即“?x∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得λ＞2x+$\frac{1}{x}$成立”是假命題，
由x∈[$\frac{1}{2}$，2]，當x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，函數取最小值2$\sqrt{2}$，
故實數λ的取值范圍為（-∞，2$\sqrt{2}$]，
故選：A

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了特稱命題，函數恒成立問題，對勾函數的圖象和性質等知識點，難度中檔．