Question

（本小題滿分14分）
如圖，已知橢圓，是橢圓的頂點(diǎn)，若橢圓的離心率，且過點(diǎn).

(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)作直線，使得，且與橢圓相交于兩點(diǎn)（異于橢圓的頂點(diǎn)），設(shè)直線和直線的傾斜角分別是，求證：.

Answer 1

(Ⅰ)  (Ⅱ)可設(shè)直線的方程為，設(shè)，由得，
，故

解析試題分析：（Ⅰ）由已知得： ，橢圓C的方程為
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，，

故可設(shè)直線的方程為，設(shè)，
由得
，即,
異于橢圓C的頂點(diǎn)，,
，

，

 
 
又，∴ ,故.
考點(diǎn)：橢圓方程性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)評(píng)：直線與圓錐曲線相交，聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理是常用的思路，本題所證明的角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線斜率關(guān)系