Question

已知橢圓，點(diǎn)在橢圓上。
（1）求橢圓的離心率；
（2）若橢圓的短半軸長為，直線與橢圓交于A、B，且線段AB以M(1，1)為中點(diǎn)，求直線的方程。

Answer 1

（1）；  （2）直線方程為：。

解析試題分析：(1)因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即，
又，所以。
（2）因?yàn)闄E圓的短半軸長為，所以，所以橢圓方程為：，
設(shè)，則，，兩式相減，得：，因?yàn)榫�段AB以M(1，1)為中點(diǎn)，，所以，即，所以直線方程為：。
考點(diǎn)：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)；直線與橢圓的綜合應(yīng)用。
點(diǎn)評：利用直線和圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，把交點(diǎn)代入圓錐曲線的方程，并作差。求出直線的斜率，然后利用中點(diǎn)求出直線方程。這種方法為點(diǎn)差法。一般情況下，遇到弦中點(diǎn)的問題可以先考慮點(diǎn)差法。 利用點(diǎn)差法可以減少很多的計(jì)算，所以在解有關(guān)的問題時(shí)用這種方法比較好。點(diǎn)差法適應(yīng)的常見問題：  弦的斜率與弦的中點(diǎn)問題。