Question

(滿(mǎn)分12分)已知點(diǎn)，直線(xiàn)： 交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)垂直于的直線(xiàn)與線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)．
（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；（Ⅱ）若 A、B為軌跡上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 證明直線(xiàn)AB必過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．

Answer 1

(1) ；(2)見(jiàn)解析。

解析試題分析：(1) 根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的定義所以點(diǎn)P到F的距離等于到直線(xiàn)的距離.
所以,點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn), 為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn),且,,
所以所求的軌跡方程為             －－－－－－－－－3分
(2) 設(shè)，直線(xiàn)AB的方程為…………….5分 
代入到拋物線(xiàn)方程整理得 則
根據(jù)韋達(dá)定理，即，            …………8分


即，解得m=2，                  …………11分
顯然，不論為何值，直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)．       ………………12分
考點(diǎn)：本題主要考查軌跡方程的求法，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系。
點(diǎn)評(píng)：求軌跡方程的方法較多，首先應(yīng)考慮定義法，即利用常見(jiàn)曲線(xiàn)的定義，從條件出發(fā)確定幾何元素。直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題，韋達(dá)定理常常用到。