Question

1．從雙曲線C：b²x²-a²y²=a²b²（a＞0，b＞0）的左焦點F₁引圓x²+y²=a²的切線為l，切點為T，且l交雙曲線的右支于點P，若點T滿足$\overrightarrow{{F_1}T}=2\overrightarrow{TP}$，則雙曲線C的離心率為$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 化雙曲線方程為標準式，作出圖形，由已知利用平面幾何知識把|F₁P|、|F₂P|都用含有b得代數式表示，代入雙曲線定義即可求得雙曲線C的離心率．

解答 解：雙曲線C：b²x²-a²y²=a²b²（a＞0，b＞0）化為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）．
設雙曲線的右焦點為F₂，點M是線段F₁P的中點，點O為坐標原點，
∴|F₁T|=$\sqrt{|{F}_{1}O{|}^{2}-|OT{|}^{2}}$=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}=b$．
∵$\overrightarrow{{F_1}T}=2\overrightarrow{TP}$，∴$|{F}_{1}P|=\frac{3}{2}|{F}_{1}T|=\frac{3}{2}b$，$|MT|=\frac{b}{4}$，$|{F}_{2}P|=2|OM|=2\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{4}b）^{2}}$．
由雙曲線定義，|F₁P|-|F₂P|=2a，即$\frac{3}{2}b-2\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{4}b）^{2}}=2a$．
∴$\frac{3}{2}b-2a=2\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{4}b）^{2}}$，兩邊平方并整理得：$\frac{b}{a}=3$．
則$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}=9$，e²=10．
∴$e=\frac{c}{a}=\sqrt{10}$．
故答案為：$\sqrt{10}$．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質，考查了計算求解能力，是中檔題．