Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC=90°，BC=

1

2

AD=1，PD=CD=2，Q為AD的中點，M為棱PC上一點．
（Ⅰ）試確定點M的位置，使得PA||平面BMQ，并證明你的結論；
（Ⅱ）若PM=2MC，求二面角P-BQ-M的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）當M為PC中點時，PA∥平面BMQ，連結AC交BQ于N，連結MN，則MN∥PA，由此能證明PA∥平面BMQ．
（Ⅱ）以點D為原點DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角P-BQ-M的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）當M為PC中點時，PA∥平面BMQ，…（2分）
理由如下：連結AC交BQ于N，連結MN，
因為∠ADC=90°，Q為AD的中點，
所以N為AC的中點．
當M為PC的中點，即PM=MC時，MN為△PAC的中位線，…（4分）
故MN∥PA，又MN?平面BMQ，PA?平面BMQ，
所以PA∥平面BMQ．…（5分）
（Ⅱ）由題意，以點D為原點DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系，…（6分）
則P（0，0，2），Q（1，0，0），B（1，2，0），…（7分）
由PM=2MC可得點M(0，

4

3

，

2

3

)，
所以

PQ

=(1，0-2)，

QB

=(0，2，0)，

QM

=(-1，

4

3

，

2

3

)，
設平面PQB的法向量為

n1

=(x，y，z)，
則

PQ • n1 =x-2z=0 QB • n1 =2y=0 ∴ x=2z y=0.

令z=1，∴

n1

=(2，0，1)，…（9分）
同理平面MBQ的法向量為

n2

=(

2

3

，0，1)，…（10分）
設二面角大小為θ，cosθ=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

7 65

65

．
∴二面角P-BQ-M的余弦值為

7 65

65

．…（12分）

點評：本題考查使得直線與平面平行的點的位置確定，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．