Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁+a₂+…+a_n=n²．
（1）在數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{

an

2n

)的前n項和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用乘公比錯位相減法求數(shù)列的和．

解答： 解：（1）已知：a1+a2+…+an=n2①
當(dāng)n≥2時，a1+a2+…+an-1=(n-1)2②
則：①-②得：an=n2-(n-1)2=2n-1
當(dāng)n=1時，a₁=1符合上式
所以：a_n=2n-1；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，則設(shè)數(shù)列cn=

an

2n

=

2n-1

2n

S_n=c₁+c₂+…+c_n=

1

21

+

3

22

+…+

2n-1

2n

①
則：

1

2

Sn=

1

22

+

3

23

+…+

2n-1

2n+1

②
①-②得：

1

2

Sn=[

2

21

+

2

22

+…+

2

2n

]-

2n-1

2n+1

-

1

2

整理得：

1

2

Sn=

3

2

-

2n+3

2n+1

所以：Sn=3-

2n+3

2n

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：數(shù)列的通項公式的求法，利用乘公比錯位相減法求數(shù)列的和．屬于基礎(chǔ)題型．