Question

【題目】如果函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，對于定義域內(nèi)的任意存在實(shí)數(shù)使得成立，則稱此函數(shù)具有“性質(zhì)”.

（1）判斷函數(shù)是否具有“性質(zhì)”，若具有“性質(zhì)”，寫出所有的值；若不具有“性質(zhì)”，請說明理由.

（2）設(shè)函數(shù)具有“性質(zhì)”，且當(dāng)時(shí)，，求當(dāng)時(shí)函數(shù)的解析式；若與交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1001個(gè)，求的值.

Answer 1

【答案】（1），理由見解析（2），；.

【解析】

（1）根據(jù)題意先檢驗(yàn)是否成立即可檢驗(yàn)是否具有“（a）性質(zhì)（2）由題意可得，，據(jù)此遞推關(guān)系可推斷函數(shù)的周期，根據(jù)交點(diǎn)周期性出現(xiàn)的規(guī)律即可求解滿足條件的，以及的解析式.

（1）由得，

根據(jù)誘導(dǎo)公式得．

具有“（a）性質(zhì)”，其中．

（2）具有“性質(zhì)”，

，，

，

從而得到是以2為周期的函數(shù)．

又，則，

．

再設(shè)，

當(dāng)，則，則，

；

當(dāng)，則，則

；

，；.

對于，，都有，而，

，

是周期為1的函數(shù)．

①當(dāng)時(shí)，要使與有1001個(gè)交點(diǎn)，只要與在，有1000個(gè)交點(diǎn)，而在，有一個(gè)交點(diǎn)．

過，，從而得

②當(dāng)時(shí)，同理可得

③當(dāng)時(shí)，不合題意．

綜上所述