Question

3．設集合A={x|x²+4x=0，x∈R}，B={x|x²+2（a+1）x+a²-1=0，a∈R，x∈R}，
（1）求A的子集；
（2）若B⊆A，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1求解集合A，列舉法寫出A的子集．
（2）根據B⊆A，建立條件關系即可求實數a的取值范圍．

解答 解：（1）集合A={x|x²+4x=0，x∈R}，
∵x²+4x=0，
解得：x₁=0，x₂=-4，
∴集合A={-4，0}．
那么集合A的子集為：{-4}，{0}，{-4，0}和∅．
（2）集合B={x|x²+2（a+1）x+a²-1=0，a∈R，x∈R}
由方程x²+2（a+1）x+a²-1=0
∵△=4（a+1）²-4a²+4，
當△＜0時，即a＜-1．
∴方程無解，此時B⊆A成立．
當△=0時，即a=-1，方程有一個解，
①x₁=0，即a²-1=0，解得a=±1，故得a=-1．
②x₂=-4，即a²-8a+7=0，解得a=1或a=7，故a無解．
當△＞0時，即a＞-1，方程有兩解，x₁=0，x₂=-4，解得a=1，
綜上所得：B⊆A，實數a的取值范圍是{a|a≤-1或a=1}．

點評 本題考查的是集合元素的分布以及運算問題，方程的思想以及問題轉化的思想在題目當中的應用．此題屬于集運算與方程、不等式于一體的綜合問題，值得同學們認真反思和歸納．