Question

15．已知函數f（x）=1-|x|+$\frac{2}{1+5{x}^{2}}$，若f（x-2）＞f（3），則x的取值范圍是（-1，5）．

Answer 1

分析 對函數進行判斷其單調性和奇偶性，即可求解f（x-2）＞f（3）x的取值范圍．

解答 解：函數f（x）=1-|x|+$\frac{2}{1+5{x}^{2}}$，
則f（-x）=1-|-x|+$\frac{2}{1+5{x}^{2}}$=f（x），
故得f（x）是偶函數．
又∵y=-|x|是減函數，y=$\frac{2}{1+5{x}^{2}}$也是減函數
∴函數f（x）=1-|x|+$\frac{2}{1+5{x}^{2}}$在定義域內是減函數．
故f（x-2）＞f（3）等價于（x-2）²＜3²，
解得：-1＜x＜5．
∴不等式的解集為{x|-1＜x＜5}．
故答案為：（-1，5）．

點評 本題主要考查了函數的奇偶性和單調性判斷及其運用能力．屬于基礎題．