Question

2．已知復(fù)數(shù)z=x+（x-a）i，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈（1，2），恒有|z|＞|z+i|，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． $（{-∞，\frac{1}{2}}]$
• B． $（{-∞，\frac{1}{2}}）$
• C． $[\frac{5}{2}，+∞）$
• D． $（{\frac{3}{2}，+∞}）$

Answer 1

分析 求出復(fù)數(shù)的模，把|z|＞|z+i|轉(zhuǎn)化為a$＜x+\frac{1}{2}$（1＜x＜2）恒成立，求出x+$\frac{1}{2}$的范圍得答案．

解答 解：∵z=x+（x-a）i，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈（1，2），恒有|z|＞|z+i|，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（x-a）^{2}}$＞$\sqrt{{x}^{2}+（x-a+1）^{2}}$對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈（1，2）恒成立．
即2（x-a）+1＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈（1，2）恒成立．
∴a＞x+$\frac{1}{2}$（1＜x＜2）．
∵x+$\frac{1}{2}$∈（$\frac{3}{2}，\frac{5}{2}$），
∴a≥$\frac{5}{2}$．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[$\frac{5}{2}，+∞$）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)模的求法，考查恒成立問(wèn)題的求解方法，運(yùn)用了分離變量法，是中檔題．