Question

7．設z₁，z₂是復數，給出下列四個命題：
①若|z₁-z₂|=0，則$\overline{{z}_{1}}$=$\overline{{z}_{2}}$                 ②若z₁=$\overline{{z}_{2}}$，則$\overline{{z}_{1}}$=z₂
③若|z₁|=|z₂|，則z₁•$\overline{{z}_{1}}$=z₂•$\overline{{z}_{2}}$          ④若|z₁|=|z₂|，則z₁²=z₂²
其中真命題的序號是①②③．

Answer 1

分析 由復數的模為0，可知復數為0判斷①；由復數相等，可知其共軛復數相等判斷②；由公式$|z{|}^{2}=z•\overline{z}$判斷③；舉例說明④錯誤．

解答 解：①由|z₁-z₂|=0，得z₁-z₂=0，∴z₁=z₂，則$\overline{{z}_{1}}$=$\overline{{z}_{2}}$，故①正確；
②若z₁=$\overline{{z}_{2}}$，則$\overline{{z}_{1}}$=$\overline{\overline{{z}_{2}}}={z}_{2}$，故②正確；
③若|z₁|=|z₂|，則$|{z}_{1}{|}^{2}=|{z}_{2}{|}^{2}$，即z₁•$\overline{{z}_{1}}$=z₂•$\overline{{z}_{2}}$，故③正確；
④取z₁=1，z₂=i，滿足|z₁|=|z₂|，而z₁²=1，${{z}_{2}}^{2}=-1$，z₁²≠z₂²，故④錯誤．
∴正確命題的序號是①②③．
故答案為：①②③．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查復數的基本概念，是中檔題．