Question

18．三棱錐P-ABC中，PA、PB、PC互相垂直，PA=PB=1，M是線段BC上一動點，若直線AM與平面PBC所成角的正切的最大值是$\frac{\sqrt{6}}{2}$，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積是（　�。�

• A． 2π
• B． 4π
• C． 8π
• D． 16π

Answer 1

分析 PA、PB、PC互相垂直，PA=PB=1，M是線段BC上一動點，當PM最短時，即PM⊥BC時直線AM與平面PBC所成角的正切的最大，最大值是$\frac{\sqrt{6}}{2}$，求出PC=，三棱錐P-ABC擴充為長方體，則長方體的對角線長為三棱錐P-ABC的外接球的直徑，即可得出結論．

解答 解：M是線段BC上一動點，連接PM，∵PA、PB、PC互相垂直，∴∠AMP就是直線AM與平面PBC所成角，
當PM最短時，即PM⊥BC時直線AM與平面PBC所成角的正切的最大．
此時$\frac{AP}{PM}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，PM=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
在Rt△PBC中，PB•PC=BC•PM⇒PC=$\sqrt{{1}^{1}+P{C}^{2}}×\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$⇒PC=$\sqrt{2}$．
三棱錐P-ABC擴充為長方體，則長方體的對角線長為$\sqrt{1+1+2}=2$，
∴三棱錐P-ABC的外接球的半徑為R=1，
∴三棱錐P-ABC的外接球的表面積為4πR²=4π．
故選：B．

點評 題考查三棱錐P-ABC的外接球的體積，考查線面垂直，線面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題