Question

16．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）點有頂點A，O為坐標原點，以A為圓心與雙曲線C的一條漸近線交于兩點P，Q，若∠PAQ=60°且$\overrightarrow{OQ}$=2$\overrightarrow{OP}$，則雙曲線C的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{39}}{6}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{7}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設雙曲線的一條漸近線方程為y=$\frac{b}{a}$x，A（a，0），P（m，$\frac{bm}{a}$），（m＞0），由向量共線的坐標表示，可得Q的坐標，求得弦長|PQ|，運用中點坐標公式，可得PQ的中點坐標，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得m=$\frac{2{a}^{3}}{3{c}^{2}}$，r=$\frac{2{a}^{2}}{3c}$，運用圓的弦長公式計算即可得到a，b的關系，即可求出離心率．

解答 解：設雙曲線的一條漸近線方程為y=$\frac{b}{a}$x，A（a，0），
P（m，$\frac{bm}{a}$），（m＞0），由$\overrightarrow{OQ}$=2$\overrightarrow{OP}$，可得Q（2m，$\frac{2bm}{a}$），
圓的半徑為r=|PQ|=m$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=m•$\frac{c}{a}$，PQ的中點為H（$\frac{3}{2}$m，$\frac{3bm}{2a}$），
由AH⊥PQ，可得$\frac{3bm}{a（3m-2a）}$=-$\frac{a}{b}$，
解得m=$\frac{2{a}^{3}}{3{c}^{2}}$，r=$\frac{2{a}^{2}}{3c}$．
A到漸近線的距離為d=$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{ab}{c}$，則|PQ|=2$\sqrt{{r}^{2}-p9vv5xb5^{2}}$=r，
d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，即有$\frac{ab}{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{2{a}^{2}}{3c}$．
可得$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴e=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故選：B

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用中點坐標公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，以及圓的弦長公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．