Question

1．在平面直角坐標系xOy中，動點M（x，y）滿足條件$\sqrt{（x-1{）^2}+{y^2}}+\sqrt{（x+1{）^2}+{y^2}}=2\sqrt{2}$．
（1）求動點M的軌跡E的方程；
（2）設直線y=kx+m（m≠0）與曲線E分別交于A，B兩點，與x軸、y軸分別交于C，D兩點（且C、D在A、B之間或同時在A、B之外）．問：是否存在定值k，對于滿足條件的任意實數m，都有△OAC的面積與△OBD的面積相等，若存在，求k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用$\sqrt{（x-1{）^2}+{y^2}}+\sqrt{（x+1{）^2}+{y^2}}=2\sqrt{2}$，化簡整理可得軌跡E的方程．
（2）聯立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x^2}+2{y^2}=2}\end{array}}\right.$消去y得，通過△＞0得m²＜2k²+1（*）．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達定理求出${x_1}+{x_2}=\frac{-4mk}{{2{k^2}+1}}$，由題意，不妨設$C（{-\frac{m}{k}，0}），D（{0，m}）$，通過△OAC的面積與△OBD的面積總相等轉化為線段AB的中點與線段CD的中點重合，求出k，即可得到結果．

解答 解：（1）因為M滿足$\sqrt{（x-1{）^2}+{y^2}}+\sqrt{（x+1{）^2}+{y^2}}=2\sqrt{2}$，整理得$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
∴軌跡E的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$…（4分）
（2）聯立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x^2}+2{y^2}=2}\end{array}}\right.$消去y得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0，△=（4mk）²-4（1+2k²）（2m²-2）=8（2k²-m²+1），由△＞0得m²＜2k²+1（*）．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=\frac{-4mk}{{2{k^2}+1}}$，…（6分）
由題意，不妨設$C（{-\frac{m}{k}，0}），D（{0，m}）$，△OAC的面積與△OBD的面積總相等?|AC|=|BD|恒成立?線段AB的中點與線段CD的中點重合…（8分）
∴$\frac{-4mk}{{2{k^2}+1}}=-\frac{m}{k}$，解得$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，…（10分）
即存在定值$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，對于滿足條件m≠0，且$|m|＜\sqrt{2}$（據（*）的任意實數m，
都有△OAC的面積與△OBD的面積相等．…（12分）

點評 本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的位置關系的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力，注意設而不求方法的應用．