Question

13．已知遞增的等差數列{a_n}（n∈N^*）的首項a₁=1，且a₁，a₂，a₄成等比數列，則a₄+a₈+a₁₂+…+a_4n+4=2n²+6n+4．

Answer 1

分析 通過記遞增的等差數列{a_n}的公差為d（d＞0），利用a₁，a₂，a₄成等比數列可知公差d=1，進而可知數列{a_n}是首項、公差均為1的等差數列，再由數列{a_4n+4}是首項為4、公差為4的等差數列，運用求和公式計算即得結論．

解答 解：記遞增的等差數列{a_n}的公差為d（d＞0），
由a₁=1可知，a₂=1+d，a₄=1+3d，
又∵a₁，a₂，a₄成等比數列，
∴a₂2=a₁a₄，即（1+d）²=1+3d，
整理得：d²=d，
解得：d=1或d=0（舍），
∴數列{a_n}是首項、公差均為1的等差數列，
∴a_n=n，
∴數列{a_4n+4}是首項為4、公差為4的等差數列，
∴a₄+a₈+a₁₂+…+a_4n+4=4（n+1）+$\frac{n（n+1）}{2}$•4=2n²+6n+4．
故答案為：2n²+6n+4．

點評 本題考查等差數列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．