Question

14．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，寫出判斷過程；
（2）證明f（x）在區(qū)間（0，2]是單調減函數(shù)，在區(qū)間[2，+∞）上是單調增函數(shù)；
（3）當x∈（0，+∞）時，試求函數(shù)f（x）的最大值或最小值．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)奇偶性的定義判斷f（-x）與f（x）的關系，在定義域關于原點對稱的前提下，相等為偶函數(shù)，相反為奇函數(shù)；
（2）利用導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，對函數(shù)求導，通過導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調性；
（3）利用基本不等式以及函數(shù)的單調性求最值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠0，x∈R}關于原點對稱
因為f（-x）=-x-$\frac{4}{x}$=-f（x）．
所以f（x）是奇函數(shù)．
（2）證明：f'（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$，f'（x）在區(qū)間（0，2]，f'（x）＜0，所以在[0，2]是單調減函數(shù)，在區(qū)間[2，+∞）上f'（x）＞0，所以f（x）在[2，+∞）是單調增函數(shù)；
（3）當x∈（0，+∞）時，f（x）≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，當且僅當x=2時f（x）取最小值4，無最大值．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調性和奇偶性的判斷與證明，同時還考查了利用性質作出函數(shù)圖象，這類作圖不是很準確，但在數(shù)形結合中解決問題很有效